LEZIONE SUL CORPO NERO

Def: il corpo nero \`e un corpo che \`e in grado di assorbire tutta la
radiazione incidente.

Ad esempio un foro pu\`o rappresentare un corpo nero. Questa cavit\`a
\`e in equilibrio termico pu\`o emettere a sua volta radiazione sua
propria, visto che deve mantenersi a temperatura costante. Anche il
sole pu\`o essere considerato un corpo nero, se assorbe della
radiazione a sua volta dovr\`a emettere radiazione in modo da
manterere la temperatura costante.
La temperatura costante \`e mantenuta artificialmente.

La densit\`a di energia per un vettore caratterizzato da
$u_\alpha (\bar{k},\bar{r}) d^3k \, d^3r$
%``[ eneriga in ogni voluento d3r d3k con coordinate u e k]''
k \`e il  numero d'onda e $\alpha$ \`e la polarizzazione e pu\`o
essere $+$ o $-$ del vettore.
$$
\ni \lambda = c
$$
$\ni $ \`e la frequenza e $\lambda$ \`e il lunghezza d'onda. $c$ \`e
la velocit\`a della luce.


Basandosi sul secondo principio della termodinamica dimostramo che che
$u_\alpha (\bar{r},\bar{r}) -> u(k)$ densit\`a di energia
ed \`e implicita la dipendenza della temperatura.

Basta che prenda all'interno della cavit\`a due posizioni, se la
densit\`a di energia \`e diversa per fissato $k$ e $\alpha$, allora
posso piazzare uno strumento che assorbe energia
elettromagnetia. Ovviamente questo strumento assorbe in proporzione
all'energia presente. I due corpi nelle due posizioni saranno a due
temperature diverse. A questi due corpi a temperatura diversa posso
inserie una macchina a ciclo di Carnot e posso estrare lavoro in
contrario con le ipotesi che il corpo ha una temperatura nominale da
T. -> non dipende dalla posizione $r$.

Non dipende neanche da $k$. Prendo un corpo che assorbe energia da
``nord'' e un corpo in un'altra direzione che assorbe solo da ``est''
e si otterebbe come prima lavoro dalla macchina, assurdo. -> non
dipende neanche dalla direzione.

Ancora vale per $u_-$ e $u_+$ hanno la stessa energia, dim: ripetere
lo stesso ragionamento.


Caveat: La densit\`a di energia non dipende dal tipo di cavit\`a.
Dimostrazione: prendiamo due cavit\`a diverse, alla stessa temperatura
$T$. Le metto in contatto attraverso un forellino. Quanto vale la
densit\`a di energia nel forellino del corpo 1 e del corpo 2?

Se il flusso di energia \`e $J^{(i)} = \frac{c u^{(i)}}{4}$ ucente.

I flussi dei due corpi
$$
J_{1->2} = \frac{c u_{(1)}}{4}
$$
$$
J_{2->1} = \frac{c u_{(2)}}{4}
$$
se i due flissi sono diversi da zero uno deve essere negativo e uno
positivo e si deve avere che uno si riscalda e l'altro si raffredda ed
\`e in contrasto con l'ipotesi che sono alla stessa temperatura. cvd.


La densit\`a di energia totale \`e data da:
$$
u(T) = \int d^3 u(k,T)
$$
e l'energia
$$
U = V u(T)
$$

Proviamo a calcolare la pressione della radiazione: prendiamo una
parete irradiata da un'onda elettromagnetica.

Nota sulla relativit\`a ristretta: $\chi = \frac{m c^2}{\sqrt{1 -
    frac{v^2}{c^2}}} \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \ldots$
La quantit\`a di moto diventa: $\bar{P} = \frac{m
    \bar{v}}{\sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$
alla velocit\`a della luce la quantit\`a di moto andrebbe a +
    infinito. Non pu\`o essere allora la massa diventa zero.

Quindi la quantit\`a di moto diventa $p=\frac{u}{c}$

Mentre il flusso di quantit\`a di moto: $\frac{u}{c} c= u$ che \`e la
u stessa.

Per calcolare la pressione sulla superfice $\Sigma$ ?????
%****************************************************************
ERRORE
$$
\cos{\theta} \Sigma [ u\cdot \bar{cappelletto}{r}= u \cdot i cappelletto] = -
\bar{F}\\
r cappelletto - i cappleletto = 2 \cos{\theta} n cappelletto
$$

La forza dovuta alla pressione \`e:
$$ \bar{F} = - \int \Sigma u {n^} 2 \cos{\theta} \cos{\theta} d\theta =
- P {n^} \Sigma \cos{\theta}
$$
si trova che la quantit\`a di moto
$$
P=
$$
%*************************************

Flusso della quantit\`a di moto
$$
\Sigma \cos{\theta} u [ {r^} - {i^}] = 2 \cos{\theta}^2 u \Sigma
$$

GRAFICO 6

La radiazione contenuta nell'angno solido $d\Omega$
$$
\int \frac{d\Omega}{4 \pi} \Sigma \cos{\theta} u [ {r^} - {i^}] = \int
2 \cos{\theta}^2 u \Sigma \frac{d\Omega}{4 \pi} = - \bar{F} = - {n^}
\Sigma P
$$

Variazione della quantit\`a di moto dovuta alla radiazione e integrata
su tutto l'angolo solido. ($d\Omega= d\phi d\theta \sin{\theta}$)

La pressione della radiazione vale:
$$
P = \int \frac{d\Omega}{4 \pi} \cos{\theta}^2 2 u 
=\frac{2 u}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} d \phi \int_0^{\frac{\pi}{2}}
d\theta \sin{\theta} \cos{\theta}^2 = \frac{u}{3}
$$



La termodinamica ci dice che
$$
P = \frac{u}{3}
$$
usando il primo principio
$$
dU = - P dV + T dS
$$
allora la entrpia
$$
dS = \frac{dU}{T} + \frac{P}{T} dV
$$
allora possiamo calcolarci $dU$
$$
dU = U(T)dV + V u\'(T) dT
$$
e mettendola dentro la precedente si ricava
$$
dS = \frac{u}{T} dV + \frac{V}{T} u\' dT + \frac{u}{3T} dV =
\frac{4}{3} \frac{u}{T} dV + \frac{u\' V}{T} dT
$$
le derivate miste devono essere eguali, la prima addendo \`e la derivata
pariziale rispetto a T e il secondo rispetto a V
$$
=>\frac{4}{3}\letf(\frac{u\'}{T} - \frac{u}{T^2} \right)= ... =
\frac{u\'}{T}\\
-> \frac{u\'}{3T} = \frac{u}{T^2} \frac{4}{3}
$$
$$
\ln{u} = \ln{T^4} + A \\
u(T) = e^A T^4
$$
abbiamo detto anche che
$$
J = I = \frac{c u}{4} = \frac{c e^A}{4} T^4 = \sigma T^4}
$$
detta legge di Stefan-Boltzmann
Sigma deve avere le dimensioni di una densit\`a. Sperientalmente si
ricva che $\sigma = 5.6686 \, 10^{-8} \ \frac{W}{m^2} \frac{1}{k^4}$

Utilizzando l'effetto dopler, introduco la densit\`a di energia di un
intervallino con lunghezza d'onda in $\lamba$ e $\lambda + d\lambda$
$$
u_\lambda (\lambda, T) = T^5 f(f, T)
$$
se ha un massimo lo ha in $\lambda_M$ che \`e inversamente
proporzionale alla tempreratura $\lambda_M \propozionale \frac{1}{T}$
e si chiama legge di Wien e si trova sperimentalmente che $\lambda_M
T= x_0 = 2.8979 \, 10^{-3} \ m K$

$u (k) d^3k ->$ coordinate  polari $k^2 u_k (k) dk d\Omega$ integrata
su tutto $d\Omega$
$$
u_k (k) dk = 4 \pi K^2 u(k) dk
$$
energia tra $k$ e $k + dk$.

A questo punto devo avere che la densit\`a di eneriga tra k e k+ dk e
$\lambda$ e $\lambda + d\lamda$ deve essere la stessa.
$$
u_k()dk = u_\lambda ()d\lambda
--> u_\lambda(\lambda) = u_k(k) \| \frac{dk}{d\lamda} \| = \frac{2
  \pi}{\lambda^2} u_k(k)
$$




\subsection{paradosso della catatrofe ultravioletta}

Rayleigh-Jeans nel 1900



Ogni onda piana con un numero d'onda k poteva essere visto come un
oscillatore armonico, che ha la caratteristica (l'oscillatore)
$$
H = 1/2 \frac{p^2}{m} + \frac{m \omega^2}{2} x^2 \\
<H> = \frac{k_B T}{2} 2 = k_B T
$$ quello che \`e stato detto che la densit\`a di energia $u_\lambda$
pu\`o essere vista come oscillatori armonici di lunghezza d'onda tra
$\labda$ e $\lambda + d\lambda$
$$
u_\lambda (\lambda,T) = k_B T N(\lambda) d\lambda
$$
dove $N(\lambda)$ \`e la densit\`a di onde piane per unit\`a di
lunghezza d'onda $\labda$ e $\lambda + d\lambda$.


Ogni funzione pu\`o essere strasformata alla Fourier ed ogni onda
pu\`o essere vista come somma di onde piane che sono onde
armoniche.


GRAFICO mancante del cubo/toroide
$$
E_z = E_{\sigma z} e^{i(\bar{z}\bar{r} - \omega t)}
$$
deve essere periodica di periodo $L$ 
$$
e^{i(k_x L)}= e^{i k_x(x+L)}
$$


??????????? $k_x L = 2 n_x \pi$ 
$$k_x =\frac{2 n_x \pi}{L}$$


per calcolare la densit\`a, il numero di punti dentro il volumetto \`e
$$
2 \frac{\frac{4}{3} \pi K^3}{{\frac{2 \pi}{L}}^3} = 2\frac{V}{6 \pi ^2} K^3
$$
numero di oscillatori armonici con nuero d'onda k<K grande.
$N(\lambda)$ \`e la derivata rispetto a lambda
$$
N(\lambda) d\lambda = \frac{\parital}{\parital \lambda} \left (
\frac}{V}{3 \pi ^3} K^3 \right) d\lambda = \frac{8 \pi}{\lambda^3}
$$
si ricava che 
$$
u_\lambda(\lambda,T) = k_B T N(\lambda) = \frac{8 \pi}{\lambda^4} k_B T = ?T^5?
$$

e integrando si avrebbe
$$
u = \int_0^piuinf d\lambda u_\lambda(\lambda) = piuinf
$$
che \`e proprio la catastrofe ultravioletta!

MANCA!!!!



la soluzione a questo problema \`e data da Planck ha detto che gli
oscillatori armonici possono assumere solo valori dicreti di eneriga
$\costplank \ni n$ con $n=0,1,2,....$

GRAFICO 8

